Анатолий Адоскин окончил студию при театре имени Моссовета под руководством Ю. А. Завадского в 1948 году. По окончании студии был приглашён в труппу театра.

В 1961 году перешёл в труппу театра «Современник». В 1965 году был приглашён в театр имени Ленинского комсомола, а в 1968 году вернулся в Театр имени Моссовета.

Заслуженный артист РСФСР (1981). Народный артист Российской Федерации (1996). Орден Почёта (2008)