Figlio di un provveditore agli studi di origini umbre (Petrignano del Lago, una frazione del Comune di Castiglione del Lago, in Provincia di Perugia), impiegato prima a Bergamo e poi a Genova, nasce in quest'ultima città nel 1938. Sin dagli anni dell'università si interessa alla recitazione, collaborando con la goliardica Compagnia Baistrocchi, ma finito l'iter di studi abbandona il teatro, andando a lavorare come funzionario di una ditta di trasporti. All'inizio degli anni settanta abbandona improvvisamente il proprio lavoro, si trasferisce a Roma e comincia ad apparire in numerosi film, in ruoli di brillante caratterista.

L'esordio avviene nel 1971 con Il provinciale di Luciano Salce, pellicola in cui, nonostante l'esiguità della parte assegnatagli, Vestri si mette subito in risalto per una recitazione convincente e tecnicamente ottima, che riproporrà in altri film di livello superiore come Amici miei di Mario Monicelli o Il secondo tragico Fantozzi, diretto da Luciano Salce. È con quest'ultimo film che guadagnò fama, vestendo i panni del professor Guidobaldo Maria Riccardelli, il fanatico cultore del cinema muto e del film La corazzata Potëmkin.

Recitò anche in alcuni polizieschi come Milano calibro 9 (1972), Il cittadino si ribella (1974) e Mark il poliziotto spara per primo (1975). Gli anni ottanta lo vedono nel cast dell'Eccezzziunale... veramente (1982) di Diego Abatantuono mentre nel decennio successivo è in Pierino torna a scuola (1990) e Fantozzi - Il ritorno (1996).

Poliglotta, ha lavorato molto anche per la televisione italiana, statunitense e brasiliana, apparendo anche in numerosi episodi della serie televisiva americana Love Boat (1988). Si è definitivamente congedato dal mondo del cinema nel 2000, concedendosi un'ultima apparizione in Fantozzi 2000 - La clonazione, di Domenico Saverni, interpretando il ruolo di un ex collega di Ugo Fantozzi, nel decimo e ultimo capitolo della saga comica di Paolo Villaggio.

Terminata la carriera da attore, si è dedicato principalmente ad una sua grande passione, la musica jazz: nel 2008 ha preso parte alla giuria di Lucca Jazz Donna, contest dedicato a musiciste emergenti, mentre nel 2010 ha presentato il concerto della trombettista olandese Saskia Laroo a Pozzuolo (Perugia). Il 7 maggio 2012 si è ripetuto al Teatro D'Annunzio di Latina per l'esibizione del sassofonista Mauro Zazzarini. Il 18 maggio 2014 ha coordinato i festeggiamenti per i 30 anni dell'Alexanderplatz, club romano che ha fatto la storia del jazz nella Capitale.

Negli ultimi anni di vita ha continuato a lavorare principalmente come coordinatore e presentatore di eventi e di concerti, occupandosi anche di organizzazione di concerti di musica jazz.