Maminka Josefa Bláhy byla Slovinka, otec Čech. Sám Bláha se narodil v Jugoslávském Novom Mestě, ale už od jedenácti let žil v Praze. Vychodil měšťanku a absolvoval dvouletý obchodní kurs, ale už v té době nadšeně ochotničil. Cestu na divadelní prkna mu ovšem zbrzdila II. světová válka a totální nasazení. Bezprostředně po osvobození se vrátil ke svému koníčku (působil krátce v Divadle Ference Futuristy) a současně studoval vytouženou DAMU ve třídě Ladislava Peška. Pln ideálů vstoupil do komunistické strany, ale narozdíl od mnoha jiných kolegů záhy pochopil, jak se věci mají. Vyřešil to jednoduše - s předstíranou bolestí v srdci soudruhům sdělil, že ztratil stranickou knížku a za tento přečin byl z KSČ vyloučen.

V roce 1951 nastoupil do Divadla Československé armády (pozdějšího Divadla Na Vinohradech), kterému zůstal věrný čtyřicet let. Tam ztvárnil desítky výrazných vedlejších rolí, jako byl třeba Belzebub ve hře DALSKABÁTY, HŘÍŠNÁ VES nebo loajální hampejzník Feuraillon ve frašce BROUK V HLAVĚ (obě figury známe v jeho podání i z televizních záznamů). Hlavní role hrál zpravidla ve spojení s kamarádem Vlastimilem Brodským, například v amerických komediích Podivný pár a Já nejsem Rappaport. Nevyhnul se ani postavám v sovětských hrách "socialistického realismu" a s humorem sobě vlastním se při nich alespoň bavil odbouráváním kolegů.

S filmem se poprvé potkal v roce 1947, kdy se spolu s Milošem Kopeckým objevil v davu bouřících se studentů ve snímku JÁN ROHÁČ Z DUBÉ. Když byla o mnoho let později na chodbě vinohradského divadla vystavena fotografie z filmu, mladičkého Kopeckého nepoznal nikdo, Bláhu každý. Disponoval už tehdy velkýma tmavýma očima, které s pomocí mohutného obočí dokázaly hravě střídat výrazy nekompromisní autority a otcovského dobráctví.

To samozřejmě neuniklo pozornosti filmových režisérů a Josef Bláha tak hrál ve více než padesáti filmech. Všeobecně známým se přesto stal až koncem šedesátých let, přeevším díky roli zasmušilého inspektora Brůžka z televizního retroseriálu HŘÍŠNÍ LIDÉ MĚSTA PRAŽSKÉHO a jeho čtyř filmových odnoží. Na diváky ale hluboce zapůsobil i jeho vrah Halík z detektivky NA KOLEJÍCH ČEKÁ VRAH, hrabě Šternberk z Vávrova KLADIVA NA ČARODĚJNICE a čtyřruký ředitel čarodějnické školy v DÍVCE NA KOŠTĚTI.

Velice často Bláhu obsazoval multižánrový režisér Jindřich Polák. Po několika menších rolích tak jejich spolupráce vyvrcholila Bláhovou snad nejznámější rolí akademika Filipa, šéfa vědecké expedice cestovatelů v čase v kultovním sci-fi seriálu NÁVŠTĚVNÍCI z roku 1983. Jinak se Bláha v průběhu osmdesátých let už šetřil. Až na výjimky (horkokrevný šéfredaktor Bonnelli v BAMBINOTU) se ve filmu a v televizi přestal objevovat. Částečně z důvodu nedostatku zajímavých nabídek, částečně pro zhoršující se zdravotní stav.

Jiří Sovák v jedné ze svých vzpomínkových knížek napsal, že Bláha vypadal jako "ohořelej havran, kterej přečkal lesní požár". A nebyla to jen vtipná charakteristika hercovy vizáže. Josef Bláha přečkal nenáviděnou totalitu, ale ve zbývajících pěti letech života už prakticky nemohl pracovat. Po dlouhé nemoci zemřel ve věku sedmdesáti let.