Henry Hübchen wurde als Sohn eines Konstrukteurs und einer Buchhalterin im Berliner Stadtteil Charlottenburg geboren. 1949 übersiedelte die Familie nach Ost-Berlin. Hübchen sammelte bereits in seiner Jugend erste schauspielerische Erfahrungen. Er wirkte unter anderem in einer kleinen Nebenrolle im ersten DEFA-Indianerfilm Die Söhne der großen Bärin (1965) mit. Nach dem Abitur begann er an der Humboldt-Universität zu Berlin ein Physikstudium, das er nach einem Jahr abbrach. 1970 absolvierte er eine Schauspielausbildung an der Hochschule für Schauspielkunst „Ernst Busch“ in Ost-Berlin, die er ein Jahr später mit dem Diplom abschloss.

Henry Hübchen ist mit seiner Schauspielagentin Sanna verheiratet, lebt aber seit Längerem getrennt von seiner Frau, mit der er zwei Töchter hat, darunter Theresa Hübchen, die ebenfalls Schauspielerin ist. Seit 1997 lebt er mit seiner Lebensgefährtin Carmen Kopplin in Berlin-Pankow.