Wychował się w Nowym Tomyślu, gdzie uczęszczał do Zespołu Szkół Ogólnokształcących i Policealnych im. M. Kopernika. Student krakowskiej Państwowej Wyższej Szkoły Teatralnej. Wykonał kilka piosenek do filmu Wszystko, co kocham, w którym zagrał główną rolę. Zagrał też tytułową rolę w filmie Baczyński (2013). W 2010 roku został laureatem Nagrody im. Zbyszka Cybulskiego za rolę w filmie Matka Teresa od kotów. W 2017 wcielił się rolę Krystiana Bali w filmie Amok.

Jest jednym z najbardziej obiecujących aktorów młodego pokolenia. Urodził się i wychowywał w Nowym Tomyślu. Na dużym ekranie zadebiutował w międzynarodowej produkcji "Nightwatching" w reżyserii Petera Greenawaya i u Andrzeja Wajdy w dramacie "Tatarak" według książki Jarosława Iwaszkiewicza. Pierwszą dużą rolą była kreacja zbuntowanego muzyka Janka w filmie "Wszystko, co kocham" u boku Jakub Gierszała, Andrzeja Chyry i Anny Radwan. Film przyniósł Kościukiewiczowi nagrodę dla "Odkrycia roku" na ogólnopolskim festiwalu sztuki filmowej "Prowincjonalna". W 2013 roku kolejny raz spotkał się z Andrzejem Wajdą na planie filmu "Wałęsa. Człowiek z nadziei". Udało mu się zagrać tytułową rolę w produkowanym dla włoskiej telewizji serialu "Na imię miał Franciszek", opowiadającym o losach założyciela zakonu Franciszkanów. Serialowym ojcem polskiego aktora był Rutger Hauer. Żoną Mateusza Kościukiewicza jest ceniona reżyser, Małgorzata Szumowska. Oprócz aktorstwa, zajmuje się również scenopisarstwem i produkcją. Razem z Maciejem Bochniakiem napisał scenariusz do muzycznej komedii "Disco Polo" w której również wystąpił.