W 2008 ukończył studia w Statens Teaterskole (duńskiej narodowej szkole teatralnej). W tym samym roku zadebiutował w filmie Dwa światy. Następnie wystąpił m.in. w drugim sezonie serialu kryminalnego The Killing, w anglojęzycznym serialu Rodzina Borgiów, a także w filmie Lucy w reżyserii i ze scenariuszem Luca Bessona. Największą popularność przyniosła mu jednak rola spin doktora Kaspera Juula w serialu politycznym Rząd, sprzedanym przez duńską telewizję publiczną do ponad 70 krajów, w tym do Polski.

W 2014 publiczny nadawca-radiowo telewizyjny Danmarks Radio (DR) ogłosił, iż Asbæk będzie jednym z trzech prowadzących koncerty 59. Konkursu Piosenki Eurowizji organizowanego w Kopenhadze. Był najmłodszym z prezenterów i zarazem jedynym nie posiadającym wcześniejszego doświadczenia w prowadzeniu programów telewizyjnych.

W 2016 roku dołączył do obsady serialu HBO Gra o tron, gdzie wcielał się w postać Eurona Greyjoya.